资源介绍
第九章 二次型
§9.1 习题
1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．
2．对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使 是对角形式：
(i)
(ii)
(iii)
3．写出二次型 的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项．
4．令A是数域F上一个n阶斜对称矩阵，即满足条件 ．
(i)A必与如下形式的一个矩阵合同：
(ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数．
(iii) F上两个n阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．
§9.2 复数域和实数域上的二次型
1．设S是复数域上一个n阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵A，使得
．
2．证明，任何一个n阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：
3．证明，任何一个n阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：
4．证明，一个实二次型 可以分解成两个实系数n元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q的秩等于1，或者q的秩等于2并且符号差等于0．
5．令
证明A与B在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P，使得 ．
6．确定实二次型 的秩和符号差．
7．确定实二次型 的秩和符号差．
8．证明，实二次型 的秩和符号差与 无关．
§9.3 正定二次型
1．判断下列实二次型是不是正定的:
;
2． 取什么值时,实二次型
是正定的.
3．设A是一个实对称矩阵.如果以A为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数 ,使得 是正定的.
4．证明, 阶实对称矩阵 是正定的,必要且只要对于任意 , 阶子式
5．设 是一个 阶正定实对称矩阵.证明
当且仅当A是对角形矩阵时,等号成立.
[提示:对 作数学归纳法,利用定理9.3.2的证明及习题4.]
6．设 是任意 阶实矩阵.证明
(阿达马不等式).
[提示:当 时,先证明 是正定对称矩阵,再利用习题5.]
§9.4 主轴问题
1．对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得 具有对角形式:
;
;
2．设A是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S使得
．
3．设A是一个 阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U,使得 ．
[提示: 是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得 = .再看一下U应该怎样取．]
4．设 是一组两两可交换的 阶实对称矩阵.证明,存在一个 阶正交矩阵U,使得 都是对角形矩阵.
[提示:对 作数学归纳法,并且参考7.6,习题9.]
- 上一篇: 线性代数导论第五版答案--Gilbert Strang
- 下一篇: 上海交通大学版线性代数答案