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Part I Fractional Brownian motion 1 Intrinsic properties of the fractional Brownian motion . . . . . 5 1.1 Fractional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Stochastic integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Correlation between two increments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Long-range dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Self-similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 H¨older continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Path differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 The fBm is not a semimartingale for H = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.9 Invariance principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Part II Stochastic calculus 2 Wiener and divergence-type integrals for fractional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1 Wiener integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Wiener integrals for H >1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Wiener integrals for H <1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Divergence-type integrals for fBm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1 Divergence-type integral for H >1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2 Divergence-type integral for H <1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Fractional Wick Itˆo Skorohod (fWIS) integrals for fBm of Hurst index H >1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1 Fractional white noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Fractional Girsanov theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3 Fractional stochastic gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 Fractional Wick Itˆo Skorohod integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5 The φ-derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Fractional Wick Itˆo Skorohod integrals in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.7 An Itˆo formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.8 Lp estimate for the fWIS integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.9 Iterated integrals and chaos expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.10 Fractional Clark Hausmann Ocone theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.11 Multidimensional fWIS integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.12 Relation between the fWIS integral and the divergence-type integral for H >1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4 WickItˆo Skorohod (WIS) integrals for fractional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1 The M operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2 The Wick Itˆo Skorohod (WIS) integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Girsanov theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.4 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.5 Relation with the standard Malliavin calculus . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.6 The multidimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5 Pathwise integrals for fractional Brownian motion . . . . . . . . . 123 5.1 Symmetric, forward and backward integrals for fBm . . . . . . . . . 123 5.2 On the link between fractional and stochastic calculus . . . . . . . . 125 5.3 The case H <1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.4 Relation with the divergence integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.5 Relation with the fWIS integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.6 Relation with the WIS integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6 A useful summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.1 Integrals with respect to fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.1.1 Wiener integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.1.2 Divergence-type integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.1.3 fWIS integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.1.4 WIS integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.1.5 Pathwise integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.2 Relations among the different definitions of stochastic integral . 155 6.2.1 Relation between Wiener integrals and the divergence . . 156 6.2.2 Relation between the divergence and the fWIS integral . 156 6.2.3 Relation between the fWIS and the WIS integrals . . . . . 157 6.2.4 Relations with the pathwise integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Part III Applications of stochastic calculus 7 Fractional Brownian motion in finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.1 The pathwise integration model (1/2 < H < 1) . . . . . . . . . . . . . . 170 7.2 The WIS integration model (0 < H < 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.3 A connection between the pathwise and the WIS model . . . . . . 179 7.4 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8 Stochastic partial differential equations driven by fractional Brownian fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.1 Fractional Brownian fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8.2 Multiparameter fractional white noise calculus . . . . . . . . . . . . . . 185 8.3 The stochastic Poisson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.4 The linear heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.5 The quasi-linear stochastic fractional heat equation . . . . . . . . . . 198 9 Stochastic optimal control and applications . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.1 Fractional backward stochastic differential equations . . . . . . . . . 207 9.2 A stochastic maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 9.3 Linear quadratic control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.4 A minimal variance hedging problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 9.5 Optimal consumption and portfolio in a fractional Black and Scholes market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 9.6 Optimal consumption and portfolio in presence of stochastic volatility driven by fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 10 Local time for fractional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 10.1 Local time for fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 10.2 The chaos expansion of local time for fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 10.3 Weighted local time for fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 10.4 A Meyer Tanaka formula for fBm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 10.5 A Meyer Tanaka formula for geometric fBm . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10.6 Renormalized self-intersection local time for fBm . . . . . . . . . . . . 258 10.7 Application to finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266