转换矩阵与坐标转换矩阵的对比-python实现pdf转换成word/txt纯文本文件下载

3.5 转换矩阵与坐标转换矩阵的对比 在前面的几节中，我们已经区分了 active 变换（缩放、旋转和平移）和坐标转换变 换。本节我们将会证明两者在数学上是等价的，一个 active 变换可以解释为一个坐标转换 变换，反之亦然。 图 3.15 说明了公式 3.7 中的行向量（仿射矩阵变换实现的平移加旋转）与公式 3.9 中 的行向量（坐标转换矩阵）的相似之处。 这是说得通的。在坐标转换变换的情况中，参考系的位置和朝向都是不同的。所以， 将一个参考系变换到另一个参考系的数学方程需要旋转和平移坐标，最终我们会得到相同 的数学形式。无论哪种情况，我们都会得到相同的数字；区别只是在于我们解释变换的方 式。在某些情况下，使用多个坐标系统更符合思维习惯，我们可以让物体自身保持不变， 只是从一个参考系转换到另一个参考系，由于参考系发生了改变，因此物体的坐标也会随 之改变（这种情况对应图 3.15b）。在另一些情况中，我们不想改变参考系，而只想在同一 个参考系中对物体进行变换（这种情况对于图 3.15a）。 图 3.15 从图中我们看到 b = Q，τ (i) = u，τ (j) = v，τ (k) = w。（a）中只使用一个坐标系统 B，我们在立方体上施加了一个仿射变换：α (x, y, z, w) = xτ (i) + yτ (j) + zτ (k) + wb，改变了 它相对于坐标系 B 的位置和朝向；(b)中使用了两个坐标系 A 和 B。通过公式 pB =xuB + y vB + z wB + w QB（其中 pA = (x, y, z, w)），立方体的各点的坐标可以从参考系 A 转换到参考系 B。从以上两种情况中我们可以得出 α(p) = (xʹ, yʹ, zʹ, w) = pB（pB 为相对于参考系 B 的坐 标）。 注意：上述讨论表明，我们可以将一个 active 变换组合（缩放，旋转，平移）解释为 坐标系转换。这一点很重要，因为我们常常会将世界空间（第 5 章）的坐标变换矩阵定义 为一个缩放、旋转、平移变换的组合。 46 / 351